*** Suite implicite

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ . On considère $f_n$  la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par $f_n(x)=x^n+x^{n-1}+...+x-1$ .

1. Déterminer les variations de la fonction $f_n$  sur   $[0;+\mathrm{\infty }[$ .

2. a. Démontrer que l'équation  $f_n(x)=0$  admet une unique solution dans $[0;+\mathrm{\infty }[$ . Cette solution sera notée $u_n$  et on aura donc $f_n\left(u_n\right)=0$ .
    b. Démontrer que, pour tout entier $n$  non nul, \(0.
    c. Calculer $u_1$  et $u_2$ .

3. a. Démontrer que, pour tout entier $n$  non nul, on a $f_{n+1}\left(u_{n+1}\right)-f_n\left(u_{n+1}\right)=u_{n+1}^{n+1}$ .
    b. En déduire que $f_n\left(u_{n+1}\right)⩽f_n\left(u_n\right)$  puis que la suite $\left(u_n\right)$  est décroissante.

4. Démontrer que, pour tout réel $a\ne 1$ , on a $f_n(a)={\displaystyle \frac{2a-a^{n+1}-1}{1-a}}$ .

5. a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$  est convergente vers un réel $\ell \in [{\displaystyle \frac{1}{2}};1]$ .
     b. Démontrer que si \(\dfrac12, alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(a)>0$ . Que peut-on en déduire pour $\ell$  ?